حل کاردرکلاس صفحه 22 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۲۲ ریاضی دهم سلام! این تمرین بر روی ساختار اصلی **دنباله‌ی حسابی** تمرکز داره. یادتون باشه فرمول کلی جمله‌ی $\text{n}$-ام یک دنباله‌ی حسابی اینه: $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}}$ که $\text{d}$ قدر نسبت و $\text{t}_{\text{۱}}$ جمله‌ی اوله. ### الف) $\mathbf{۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰, \dots}$ 1. **قدر نسبت (d):** $۱۰ - ۵ = ۵$ $$\mathbf{\text{d} = ۵}$$ 2. **سه جمله‌ی بعدی:** $۲۰+۵ = ۲۵$, $۲۵+۵ = ۳۰$, $۳۰+۵ = ۳۵$ $$\mathbf{۲۵, ۳۰, ۳۵}$$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$):** $\text{a}_{\text{۱}} = ۵$, $\text{d} = ۵$ $$\text{a}_{\text{n}} = ۵ + (\text{n}-۱)۵ = ۵ + ۵\text{n} - ۵ = ۵\text{n}$$ $$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۵\text{n}}$$ --- ### ب) $\mathbf{۱, ۳, ۵, ۷, \dots}$ 1. **قدر نسبت (d):** $۳ - ۱ = ۲$ $$\mathbf{\text{d} = ۲}$$ 2. **سه جمله‌ی بعدی:** $۷+۲ = ۹$, $۹+۲ = ۱۱$, $۱۱+۲ = ۱۳$ $$\mathbf{۹, ۱۱, ۱۳}$$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{b}_{\text{n}}}$):** $\text{b}_{\text{۱}} = ۱$, $\text{d} = ۲$ $$\text{b}_{\text{n}} = ۱ + (\text{n}-۱)۲ = ۱ + ۲\text{n} - ۲ = ۲\text{n} - ۱$$ $$\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۲\text{n} - ۱} \quad \text{(دنباله اعداد فرد)}$$ --- ### پ) $\mathbf{۵, ۹, ۱۳, ۱۷, \dots}$ 1. **قدر نسبت (d):** $۹ - ۵ = ۴$ $$\mathbf{\text{d} = ۴}$$ 2. **سه جمله‌ی بعدی:** $۱۷+۴ = ۲۱$, $۲۱+۴ = ۲۵$, $۲۵+۴ = ۲۹$ $$\mathbf{۲۱, ۲۵, ۲۹}$$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{c}_{\text{n}}}$):** $\text{c}_{\text{۱}} = ۵$, $\text{d} = ۴$ $$\text{c}_{\text{n}} = ۵ + (\text{n}-۱)۴ = ۵ + ۴\text{n} - ۴ = ۴\text{n} + ۱$$ $$\mathbf{\text{c}_{\text{n}} = ۴\text{n} + ۱}$$ --- ### ت) $\mathbf{۱۳, ۷, ۱, -۵, \dots}$ 1. **قدر نسبت (d):** $۷ - ۱۳ = -۶$ $$\mathbf{\text{d} = -۶}$$ 2. **سه جمله‌ی بعدی:** $-۵+(-۶) = -۱۱$, $-۱۱+(-۶) = -۱۷$, $-۱۷+(-۶) = -۲۳$ $$\mathbf{-۱۱, -۱۷, -۲۳}$$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{d}_{\text{n}}}$):** $\text{d}_{\text{۱}} = ۱۳$, $\text{d} = -۶$ $$\text{d}_{\text{n}} = ۱۳ + (\text{n}-۱)(-۶) = ۱۳ - ۶\text{n} + ۶ = -۶\text{n} + ۱۹$$ $$\mathbf{\text{d}_{\text{n}} = -۶\text{n} + ۱۹}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۲۲ ریاضی دهم این تمرین یک مثال عملی برای **دنباله‌ی حسابی** (یا همان تابع خطی) و نحوه‌ی تصمیم‌گیری بر اساس تحلیل هزینه است. در اینجا، **هزینه‌ی ثابت** نقش جمله‌ی اول (پس از اصلاح) یا $\mathbf{\text{t}_{\text{۰}}}$ و **هزینه‌ی متغیر (دقیقه‌ای)** نقش **قدر نسبت** ($\text{d}$) را بازی می‌کند. ### الف) جمله‌ی عمومی $\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$ و $\mathbf{\text{b}_{\text{n}}}$ هزینه‌ی کل برابر است با: $\text{هزینه‌ی ثابت} + (\text{تعداد دقایق} \times \text{هزینه‌ی هر دقیقه})$ * **شرکت $\text{A}$:** ۲۰۰۰ تومان ثابت + ۳۰ تومان در دقیقه $$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۳۰\text{n} + ۲۰۰۰}$$ * **شرکت $\text{B}$:** ۳۰۰۰ تومان ثابت + ۲۰ تومان در دقیقه $$\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۲۰\text{n} + ۳۰۰۰}$$ --- ### ب) تکمیل جدول مقادیر $\text{n}$ را در فرمول‌ها جایگذاری می‌کنیم: * $\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$: * $\mathbf{\text{n}=۶۰}$: $\text{a}_{\text{۶۰}} = ۳۰(۶۰) + ۲۰۰۰ = ۱۸۰۰ + ۲۰۰۰ = \mathbf{۳۸۰۰}$ * $\mathbf{\text{n}=۱۱۰}$: $\text{a}_{\text{۱۱۰}} = ۳۰(۱۱۰) + ۲۰۰۰ = ۳۳۰۰ + ۲۰۰۰ = \mathbf{۵۳۰۰}$ * $\mathbf{\text{n}=۱۶۰}$: $\text{a}_{\text{۱۶۰}} = ۳۰(۱۶۰) + ۲۰۰۰ = ۴۸۰۰ + ۲۰۰۰ = \mathbf{۶۸۰۰}$ * $\mathbf{\text{b}_{\text{n}}}$: * $\mathbf{\text{n}=۱}$: $\text{b}_{\text{۱}} = ۲۰(۱) + ۳۰۰۰ = \mathbf{۳۰۲۰}$ * $\mathbf{\text{n}=۶۰}$: $\text{b}_{\text{۶۰}} = ۲۰(۶۰) + ۳۰۰۰ = ۱۲۰۰ + ۳۰۰۰ = \mathbf{۴۲۰۰}$ * $\mathbf{\text{n}=۱۱۰}$: $\text{b}_{\text{۱۱۰}} = ۲۰(۱۱۰) + ۳۰۰۰ = ۲۲۰۰ + ۳۰۰۰ = \mathbf{۵۲۰۰}$ * $\mathbf{\text{n}=۱۶۰}$: $\text{b}_{\text{۱۶۰}} = ۲۰(۱۶۰) + ۳۰۰۰ = ۳۲۰۰ + ۳۰۰۰ = \mathbf{۶۲۰۰}$ | $\text{n}$: زمان مکالمه (دقیقه) | ۱ | ۴۰ | ۶۰ | ۱۱۰ | ۱۶۰ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $\text{a}_{\text{n}}$: هزینه‌ی سیم کارت $\text{A}$ | ۲۰۳۰ | ۳۲۰۰ | **۳۸۰۰** | **۵۳۰۰** | **۶۸۰۰** | | $\text{b}_{\text{n}}$: هزینه‌ی سیم کارت $\text{B}$ | **۳۰۲۰** | ۳۸۰۰ | **۴۲۰۰** | **۵۲۰۰** | **۶۲۰۰** | --- ### پ) آیا $\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$ و $\mathbf{\text{b}_{\text{n}}}$ جمله‌ی عمومی یک دنباله‌ی حسابی‌اند؟ **پاسخ: بله!** * **چرا؟** چون این فرمول‌ها در واقع **تابع خطی** $\mathbf{\text{y} = \text{ax} + \text{b}}$ هستند که در آن‌ها $\text{a}$ شیب خط (و قدر نسبت) و $\text{b}$ عرض از مبدأ (هزینه‌ی ثابت) است. هر تابع خطی در متغیر طبیعی ($athbf{\text{n} \in \mathbb{N}}$) یک دنباله‌ی حسابی تولید می‌کند. * **قدر نسبت:** در این نوع رابطه‌ها، قدر نسبت ($\text{d}$) همیشه برابر با ضریب $\mathbf{\text{n}}$ است، که همان **هزینه‌ی هر دقیقه مکالمه** است. * **قدر نسبت $\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$ (شرکت $\text{A}$):** $\mathbf{\text{d} = ۳۰}$ (هزینه‌ی هر دقیقه) * **قدر نسبت $\mathbf{\text{b}_{\text{n}}}$ (شرکت $\text{B}$):** $\mathbf{\text{d} = ۲۰}$ (هزینه‌ی هر دقیقه) --- ### ت) پیشنهاد سیم کارت به سارا و فاطمه برای مقایسه، هزینه‌ی $\text{A}$ و $\text{B}$ را برای دقایق مکالمه‌ی آن‌ها محاسبه می‌کنیم. #### ۱. سارا (حدود ۱ ساعت = ۶۰ دقیقه) * $\mathbf{\text{n}=۶۰}$: * $\text{a}_{\text{۶۰}} = ۳۸۰۰$ تومان * $\text{b}_{\text{۶۰}} = ۴۲۰۰$ تومان * **پیشنهاد به سارا:** $\mathbf{\text{A}}$ (شرکت $\text{A}$). چون برای دقایق کم (۶۰ دقیقه) هزینه‌ی ثابت کمتری دارد و در مجموع ارزان‌تر است. #### ۲. فاطمه (حدود ۱۵۰ دقیقه) * $\mathbf{\text{n}=۱۵۰}$: * $\text{a}_{\text{۱۵۰}} = ۳۰(۱۵۰) + ۲۰۰۰ = ۴۵۰۰ + ۲۰۰۰ = ۶۵۰۰$ تومان * $\text{b}_{\text{۱۵۰}} = ۲۰(۱۵۰) + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰ + ۳۰۰۰ = ۶۰۰۰$ تومان * **پیشنهاد به فاطمه:** $\mathbf{\text{B}}$ (شرکت $\text{B}$). چون برای دقایق زیاد (۱۵۰ دقیقه) هزینه‌ی متغیر کمتری دارد و در مجموع ارزان‌تر است. **نقطه‌ی تعیین:** هزینه‌ی دو شرکت در **۱۰۰ دقیقه** مساوی است: $\text{a}_{\text{۱۰۰}} = ۳۰(۱۰۰) + ۲۰۰۰ = ۵۰۰۰$ و $\text{b}_{\text{۱۰۰}} = ۲۰(۱۰۰) + ۳۰۰۰ = ۵۰۰۰$. * **برای مکالمه‌ی کمتر از ۱۰۰ دقیقه، $\text{A}$ ارزان‌تر است.** * **برای مکالمه‌ی بیشتر از ۱۰۰ دقیقه، $\text{B}$ ارزان‌تر است.**